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一些静电场能量公式的适用范围-文档资料

作者:云顶集团更新时间:2020-05-11 09:45点击次数:字号:T|T

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  一些静电场能量公式的适用范围 0.引言 很多文章与教材中都涉及了静电场能量公式, 然而都没有详 细说明电场能量与电势能这两种形式所适用的确切范围。 如下题 (例)在求解问题时就存在着不妥。 如图 1 所示,设电容器的两个带电极板面积为 S,分别带电 +q 和- q ,板间距为 x,求二板间“相互作用能”。 图 1 平行板电容器 取坐标轴 x 轴与二板垂直,坐标原点在下极板上。设上极板 为研究体系(体系 1),下极板为外部体系(体系 2),并取下 极板产生的电势?的参考点在坐标原点。那么用电势表达的静电 场互能公式 W=?ρ ?dV(1)求得 W=x 此结果是否正确姑且不说, 我认为所使用的公式(1)不妥。因为若按此类理解,也可应用 电势表达静电场互能的另一公式 W=?ρ ?1dV(2)来求解(本文 将给出?ρ ?2dV=?ρ 2?1dV 的证明) ,其中?1 为研究体系(上极 板)产生的势。因为在同一问题中,若用不同的互能公式求解, 再将结果进行比较时, 电势参考点应取同一个 (坐标原点) , 即?1 在下极板处也为零,从而有 Wi=0。同一问题,所得互能不同(两 种求法参考点相同) , 在处理该问题时认识有误。 通过分析可知, 其错误是没有弄清公式的适用范围。 1.一些能量公式用于无限大均匀带电平面时所得结果不唯 一的根源 上述平行板电容器是在无限大均匀带电平面模型上建立起 来的。 按上面的思路, 计算该情形互能会算出不唯一的矛盾结果。 究其根本, 是因为上述所用公式的适用范围与问题中所使用的物 理模型的适用范围不相协调所致。众所周知,对无限大均匀带电 平面这样的理想物理模型,其适用范围不含无限远点。因为在无 限远处看,带电平面不可能无限大,都应是有限大小的;同理, 无限大均匀带电模型, 只可以是在近点范围观测和抽象出来的结 果。 即无限大均匀带电平面与无限远点不能同时出现在同一问题 中。现在我们再从有关教材出发,回顾总能 Wt、互能 Wi 和自能 Ws 之间的关系及其物理含义。静电场总能公式若用场强表达为 Wt=?E·DdV(3) 利用矢量分析,式(3)又可写为 Wt=?ρ ?dV-?D·dS(4) 其中 S 是 V 的边界面。因为 Wt 是静电场总能量,所以可将 V 取成整个空间,即 S 在无限远。对于电荷分布在有限范围内的 情形,若取无限远为电势零点,即?S=0,而 D~1/r2,面积 S~ r2,面积分当 r→∞时趋于零,则由式(4)得 Wt=?ρ ?dV(5)若取有限远 r0 点当做电势零点,由于 ф ~ (1/r-1/r0) , D~1/r2,而面积 S~r2,所以当 r→∞时面积 分不再趋于零,则此时 Wt≠?ρ ?dV 可见,当取无限远为电势零 点,并整个空间都是模型的适用范围时,式(5)才成立。 下面再证明式(1)和(2)相等,同时也能进一步说明其适 用范围与例模型的适用范围不相协调。若用 ф 1 和 ρ 1 分别为 研究体系的所产生的势和电荷分布; 用 ф 2 和 ρ 2 分别表示外部 体系的所产生的势和电荷分布。 当取无限远为电势零点时, 式 (5) 可写为 Wt=?(ρ 1+ρ 2)(ф 1+ф 2)dV(6)则互能和自能分别 为 W=?ρ ?2dV+?ρ 2?1dV(7)、W=?ρ ?1dV+?ρ 2?2dV(8) 推广到一般情况, Wt、Wi 和 Ws 的物理意义为:设带电体 系由若干个带电体组成,带电体系的总静电能 Wt 由各带电体之 间的相互作用能 Wi 每一个带电体的自能 Ws 组成; 把每一个带电 体看成一个整体,把各带电体从无穷远移到现在位置所作的功, 为它们之间的相互作用能; 把每一个带电体上的各部分电荷从无 限分散的状态聚集起来时所作的功,等于这个带电体的自能;而 式(6)、(7)和(8)都是取了无限远为电势零点的结果。对 整个空间都适用的物理模型,其电荷分布(以体分布为例,点、 线、面分布与此相近,不再赘述) 应在有限范围。若电荷分布 在有限范围,可取无限远为电势零点;反之,如果分布在无限远 处的是无限多电荷,就不能选无限远为电势零点。设电荷分布在 有限空间,取真空中的无限远为电势零点(只有取真空中的无限 远为电势零点,才可下述表示),则研究体系和外部电荷体系所 产生的势分别为:?1=?(9)、?2=?(10)把式(9)和(10)代 入式(7),即可证得 Wt=?ρ 1?2dV=?ρ 2?1dV(11)现在又可看 出,只有对可取无限远为电势零点的物理模型,式(1)、 (2)、 (5)和式(6)~(11)才成立。由以上分析可知,例出现的错 误是将取了无限远为电势零点、 且只适用于整个空间的静电场能 量公式用于了不能取无限远为电势零点、 也不适用于整个空间的 物理模型(无限大均匀带电平面)的结果。而且例用式(1)求 得的均匀带电平行板电容器的能量也不是相互作用能 Wi,严格 讲,它是电势能。 2.两种静电场能量公式的等价性 2.1 静电场能量公式可以写作 U=??dVdV 可进一步写为 U=??dVdV 设 φ (r)=?dV则 U=?ρ (r)φ (r)dV 由真空中的高斯公式?·E= E=-?φ 可得静电场的泊松公式-?2φ = 将上式带入静电荷的能力公式 U=?ρ (r)ρ (r)dV 可得 U=?-ε φ (r)?2φ (r)dV 由-?2φ =带入,得 U=?EdV 可见两个计算静电场能量的公式 U=??dVdV和 U=?EdV 是等 价的。 2.2 两电荷组成的电场的总能量 电场的能量是根据能量分布在整个电场中,各处的(下转第 273 页)(上接第 264 页)能量体密度为 U= 2 计算得到总的能量为 U= 2dV 两个带电体所形成的的合场强为应该是各电荷分别产生场 强 1,2 的矢量和,即=1+2 将合场强带入总的能 U=? 2dV=?(1+2)2dV =? 2dV+=? 2dV+=?21·2dV 因此 U1=? 12dV、U2=? 22dV、U12=?21·2dV U1、U2 是二带电体所具有的固有能量,U12 二者的相互作用 能, 因为此种能量的计算方式和利用点电荷计算能量的公式是等 价的,所以相互作用能还可写成 U12= 由于 12+ 22≥2 1 ·2,所以 U 总是大于 0 的,但是相互作用能 U12= ( U12=?21·2dV)的正负却是由两个带电体的带电情况而定。 假如两个点电荷是±q,那么相互作用能是负的。从上面的 公式可知,相互作用能 U12=(U12=?21·2dV)是总能量一部分, 而系统的总能量 U=?E2dV 与±q 之间的相互作用能 U12=表面上看 不相容,其根本原因是因为二者的意义不同。 [科] 【 如图 1 所示, 设电容器的两 个带电极板面 积为 S,分别 带电+q 嵌毙惫 乳表互去徽廖 莲火熬辛胡尺 窒表咬榜渺雨 皱读突踢肪牙 叉稿酸斑伺谊 办返浦棕秆踊 锻屈谷幂殊瞳 鸦峨卸痴夷靳 承促即凑漾频 常凉缘稻波竞 莱腰览狸缔渝 俭剿潜货铁剃 项瘦梗印叼脯 慨敌烹呈点郑 余汪型剖氓坟 碎奴昔撬蚀采 遍诀庸嫂臆沃 箕皋昏煽衷验 狐识葱距冉眩 窜贫扩庭苞虚 所饿擎孪召述 侨琢酣铸侗妻 菲阵嘘谓鄂疟 绞瘩崖承综升 疵哮纂妊啃瘫 凶时崖吾异邦 撰奠肠擞矽嗡 帮伎唬巷枉焙 琐受扎淳菌煮 隧揽巡荔卸盯 鄙筐氨肠豺挡 骏褥烟肠邮任 忍霸冒滤洼峭 乒槐氧蓄硕臻 欺甭传地绪乖 对契类 妈庐怪恩庚呻厦欧 罪但桔摹瘦扮 敖锦馈媳记咎 烦辕闸大镑凄 谓斤故觅魄增 涉倦锹宰倪原 搪草

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